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年级

科目

问题描述

提问时间

初三

数学

解答题

2014-02-13 19:51:58

王老师 2014-02-14 10:44:05

（2）本问要分类进行讨论：
①当直线m在AC下方或与AC重合时，即当0＜t≤4时，根据平行得到两对同位角的相等可证△OMN∽△OAC，用两三角形的相似比求出面积比，即可得出S与t的函数关系式．
②当直线m在AC上方时，即当4＜t＜8时，由平行得到一对同位角相等，再由一对直角的相等得到△DAM∽△AOC，根据相似得比例，由OD，AD表示出AM的长，进而得到BM的长，再由MN∥AC，得到两对同位角的相等，从而得到△BMN∽△BAC，由相似得比例BN的长，从而得到CN的长，然后分别表示出各个三角形的面积，可用矩形OABC的面积-三角形BMN的面积-三角形OCN的面积-三角形OAM的面积来求得．

（3）根据（2）得出的函数的性质和自变量的取值范围即可求出面积S的最大值及对应的t的值．

解:（2）当0＜t≤4时，OM=t
∵MN∥AC，
∴∠OMN=∠OAC，∠ONM=∠OCA，
∴△OMN∽△OAC

∴OM/OA=ON/OC即t/4=ON/3

∴ON=3/4t则S=1/2OM•ON=3/8t²

当4＜t＜8时，
如图，∵OD=t，
∴AD=t-4，
∵MN∥AC，
∴∠CAO=∠MDA，
又∠COA=∠MAD=90°，
∴△DAM∽△AOC，可得AM=3/4（t-4）

∴BM=6-3/4t

∵MN∥AC，
∴∠BNM=∠BCA，∠BMN=∠BAC，
∴△BMN∽△BAC，可得BN=4/3BM=8-t
∴CN=t-4
S=矩形OABC的面积-Rt△OAM的面积-Rt△MBN的面积-Rt△NCO的面积

=12-3/2（t-4）-1/2（8-t）（6-3/4t)-3/2(t−4)=−3/8t²+3t

（3）有最大值．
当0＜t≤4时，
∵抛物线S=3/8t²的开口向上，在对称轴t=0的右边，S随t的增大而增大
∴当t=4时，S可取到最大值3/8×4²=6；
当4＜t＜8时，
∵抛物线S=−3/8t²+3t的开口向下，它的顶点是（4，6），
∴S≤6，
综上，当t=4时，S有最大值6．