| 年级 | 科目 | 问题描述 | 提问时间 |
| 高二 | 数学 | 函数 | 2015-10-06 08:50:57 |
已知函数fn(x)=axn+bx+c(a,b,c∈R). (1)若f1(x)=3x+1,f2(x)为偶函数，求a,b,c的值; (2)若对任意实数x,不等式2x≤f2(x)≤1/2(x+1)2恒成立，求f2(-1)的取值范围; (3)当a=1时,对任意x1,x2∈[-1,1],恒有|f2(x1)-f2(x2)|≤4,求实数b的取值范围。
| |||
| 学点点闵老师 2015-10-06 09:57:20 | |||
| ：（Ⅰ）由 f1（x）=3x+1，f2（x）为偶函数得 a+b＝3 c＝1 b＝0 ∴a=3，b=0，c=1； （Ⅱ）由题意可知f2（1）≥2，f2（1）≤2， ∴f2（1）=2，∴a+b+c=2， ∵对任意实数x都有f2（x）≥2x，即ax2+（b-2）x+c≥0恒成立， ∴ a＞0 (b−2)2−4ac≤0 ，由a+b+c=2，∴（a+c）2-4ac≤0， 可得a=c，b=2-2a， 此时f2(x)−1/2(x+1)²=(a-1/2)(x-1)² ∵对任意实数x都有f2(x)≤1/2(x+1)²成立 ∴0＜a≤1/2 ∴f2（-1）=a-b+c=4a-2的取值范围是（-2，0]； （Ⅲ）对任意x1，x2∈[-1，1]都有|f2（x1）-f2（x2）|≤4等价于 在[-1，1]上的最大值与最小值之差M≤4，据此分类讨论如下： （ⅰ）当|b/2|＞1 即b＞2时，M=|f2（1）-f2（-1）|=2|b|＞4，与题设矛盾． （ⅱ） 当−1≤−b/2＜0 即0＜b≤2时，M＝f2(－1)−f2(−b/2)=(b/2+1)²≦4恒成立 （ⅲ）当0≤−b/2＜1.即－2≤b≤0 M=f2(-1)－f2(-b/2)=(b/2-1)²≤4恒成立 综上可知，-2≤b≤2． | |||
